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集合和函数的语言渗透于数学之中。粗略地说，每一个数学对象都是一个集合，而数学中大多数重要的运算最终都是函数，或者可以用函数来表达。我们不会定义什么是集合，而是将集合 $X$ 的概念和成员关系 $x \in X$（$x$ 是 $X$ 的一个元素）作为基本（未定义）术语。$x \in X$ 的否定是 $x \notin X$：$x$ 不是 $X$ 的一个元素。通常，一个集合的元素本身就是集合，这强调了在数学中，一切皆是集合。集合通常有两种描述方式：(i) 作为列表 $\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$，例如 $\{1,2,4,5\}$，或者 (ii) 通过描述其元素来定义，例如上述集合也可以通过以下方式指定：
其中 $\mathbb{Z}$ 表示所有整数的集合。有时（特别是在几何语境中），我们将“$x$ 是 $X$ 的一个点”作为 $x \in X$ 的同义词。
定义 1.1.1. 两个集合 $X$ 和 $Y$ 相等当且仅当它们拥有相同的元素：$X=Y$ 当且仅当，对于所有 $x, x \in X \Longleftrightarrow x \in Y$。我们可以不正式地这样说：一个集合由其元素唯一指定。
一个基本的集合例子是空集 $\emptyset$：
定义 1.1.2. 一个集合 $X$ 是空的当且仅当，对于所有 $x, x \notin X$。因此 $X$ 没有元素。这在逻辑上意味着 $X$ 由条件“对于所有 $x, x \notin X$”唯一指定：空集只有一个，记作 $\emptyset$。
接下来我们定义子集：
定义 1.1.3. 设 $X, Y$ 是两个集合。如果对于每一个 $x \in X, x \in Y$，则 $X$ 是 $Y$ 的子集或 $X$ 包含于 $Y$，记作 $X \subseteq Y$。我们也将其记作 $Y \supseteq X$（或 $Y$ 包含 $X$）。符号 $X \varsubsetneqq Y$ 或 $X \subset Y$ 有时用来表示 $X \subseteq Y$ 但 $X \neq Y$。（有些人用 $X \subset Y$ 来表示 $X \subseteq Y$，但我们将这些符号区分开来。）
备注 1.1.4. (i) $X \subseteq X$ 且 $\emptyset \subseteq X$。$X$ 的子集 $A$ 称为真子集如果 $A \neq X$。
(ii) 根据集合相等的定义，$X=Y \Longleftrightarrow X \subseteq Y$ 且 $Y \subseteq X$。如果 $X \subseteq Y$ 且 $Y \subseteq Z$，则 $X \subseteq Z$；这称为传递性。
(iii) 如果 $x \in X$（因此特别是 $X \neq \emptyset$），则 $\{x\} \subseteq X$。形式为 $\{x\}$ 的 $X$ 的子集称为单元素子集或单例子集。
我们将处理的许多集合都是有限集：
定义 1.1.5. 形式为 $X=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ 的集合是有限集。如果对于所有 $i, j$ 且 $1 \leq i, j \leq n$，我们有 $x_{i} \neq x_{j}$，则我们记作 $\#(X)=n$。根据逻辑或约定，$\emptyset$ 是有限的，且 $\#(\emptyset)=0$。反之，如果 $X$ 是一个（有限）集合且 $\#(X)=0$，则 $X=\emptyset$。形式为 $\{x\}$ 的集合恰好有一个元素。特别是，$\{\emptyset\}$ 有一个单元素，即 $\emptyset$，因此 $\{\emptyset\} \neq \emptyset$。同样地，$\#(\{\emptyset,\{\emptyset\}\})=2$。
如果一个集合不是有限的，则它是无限的。（有些人使用 $\#(X)=\infty$ 来表示 $X$ 是无限的，但我宁愿避免使用这个符号，因为符号 $\infty$ 并不是衡量无限集大小的明确方法。）
最后，我们收集一些将在本书中使用的标准数集符号：
(i) $\mathbb{N}$ 是自然数集：
（有些人允许 0 是自然数，但这不是本文的约定。）
(ii) $\mathbb{Z}$ 是整数集：
(iii) $\mathbb{Q}$ 是有理数集。一个有理数 $a / b$ 写成整数 $a, b$ 的商，其中 $n \neq 0$，且两个商 $a / b$ 和 $c / d$ 定义相同的有理数 $\Longleftrightarrow a d=b c$。一个有理数有一个“最佳描述”形式 $a / b$，其中 $b>0$ 且 $a, b$ 没有公因子（我们说 $a / b$ 是最简形式）。我们稍后会回到这一点。
(iv) $\mathbb{R}$ 是实数集。集合 $\mathbb{R}$ 不是代数定义的，所以我们在此不讨论它的构造。
(v) $\mathbb{C}$ 是复数集。我们稍后会回到 $\mathbb{C}$ 的性质。
回忆集合的标准运算：
定义 1.2.1. 如果 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是两个集合，则：
(i) $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的并集是集合
因此 $X_{1} \subseteq\left(X_{1} \cup X_{2}\right)$ 且 $X_{2} \subseteq\left(X_{1} \cup X_{2}\right)$。有限多个集合的并集也类似定义：如果 $X_{1}, \ldots, X_{n}$ 是集合，则
根据这些定义，我们有：对于所有集合 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$，
(ii) $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的交集是：
因此 $\left(X_{1} \cap X_{2}\right) \subseteq X_{1}$ 且 $\left(X_{1} \cap X_{2}\right) \subseteq X_{2}$。同样地
如 (i) 所示，对于所有集合 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$，
(iii) 给定两个集合 $X_{1}$ 和 $X_{2}$，$X_{2}$ 在 $X_{1}$ 中的补集，记作 $X_{1}-X_{2}$，是集合
因此 $X_{2} \cap\left(X_{1}-X_{2}\right)=\emptyset$。如果 $X_{2} \subseteq X_{1}$，则 $X_{2} \cup\left(X_{1}-X_{2}\right)=X_{1}$。例如，$X-X=\emptyset$ 且 $X-\emptyset=X$。
备注 1.2.2. (i) 注意，对于每个 $j$ 且 $1 \leq j \leq n, X_{j} \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}$。此外，如果 $Y$ 是一个集合，使得对于每个 $j$ 且 $1 \leq j \leq n, X_{j} \subseteq Y$，则 $\bigcup_{i=1}^{n} X_{i} \subseteq Y$。这大致说明 $\bigcup_{i=1}^{n} X_{i}$ 是包含所有 $X_{j}$ 的最小集合。
(ii) 同样地，对于每个 $j$ 且 $1 \leq j \leq n, \bigcap_{i=1}^{n} X_{i} \subseteq X_{j}$。此外，如果 $Y$ 是一个集合，使得对于每个 $j$ 且 $1 \leq j \leq n, Y \subseteq X_{j}$，则 $Y \subseteq \bigcap_{i=1}^{n} X_{i}$。这大致说明 $\bigcap_{i=1}^{n} X_{i}$ 是包含于所有 $X_{j}$ 的最大集合。
(iii) 检查以下公式是定义的练习：
(iv) 根据逻辑（德摩根定律），$Y-\left(X_{1} \cap X_{2}\right)=\left(Y-X_{1}\right) \cup\left(Y-X_{2}\right)$ 且 $Y-\left(X_{1} \cup X_{2}\right)= \left(Y-X_{1}\right) \cap\left(Y-X_{2}\right)$。（例如，如果 $x \in Y, x \notin X_{1} \cap X_{2}$，那么 $x \notin X_{1}$ 或 $x \notin X_{2}$，反之亦然。）
定义 1.2.3. 给定 $X$ 和 $Y$，我们定义 $X \times Y$，即 $X$ 和 $Y$ 的笛卡尔积，为有序对 $(x, y)$ 的集合，其中 $x \in X$ 且 $y \in Y$。此处 $x$ 是有序对 $(x, y)$ 的第一分量或第一坐标，而 $y$ 是第二分量（或坐标）。
如果 $X=Y$，我们用 $X^{2}$ 缩写 $X \times X$。同样地，如果我们有 $n$ 个集合 $X_{1}, \ldots, X_{n}$，那么 $X_{1} \times \cdots \times X_{n}$ 是有序 $n$ 元组 $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ 的集合，其中每个 $i$ 都有 $x_{i} \in X_{i}$，$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ 的第 $i$ 个分量（或坐标）是 $x_{i}$，我们再次用 $X^{n}$ 缩写 $X \times \cdots \times X$（$n$ 次）。
备注 1.2.4. 有序对 $(x, y)$ 的操作性质是：1) 对于所有 $x \in X$ 和 $y \in Y$，存在一个有序对 $(x, y) \in X \times Y$，以及 2) 两个有序对 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 相等 $\Longleftrightarrow$ 它们具有相同的第一分量和相同的第二分量，即 $\Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$；仅仅要求集合 $\left\{x_{1}, y_{1}\right\}$ 和 $\left\{x_{2}, y_{2}\right\}$ 相等是不够的。可以仅使用集合论给出有序对的正式定义。事实上，可以定义 $(x, y)=\{\{x\},\{x, y\}\}$。（换句话说，有序对不必是未定义的术语。）然而，我们并不会真正关心精确的定义是什么，而只关心有序对具有上述性质 1) 和 2)。不过，使用函数，我们可以给出有序 $n$ 元组的仔细定义；我们稍后会描述这一点。
备注 1.2.5. (i) 如果 $A \subseteq X$ 且 $B \subseteq Y$，则 $A \times B \subseteq X \times Y$。但是，通常情况下，并不是 $X \times Y$ 的每个子集都具有这种形式（练习 1.1）。
(ii) 根据逻辑，对于每个集合 $X$，$\emptyset \times X=X \times \emptyset=\emptyset$。
(iii) 如果 $X$ 和 $Y$ 是有限集，则 $X \times Y$ 也是有限的，并且
对于 $n$ 个有限集 $X_{1} \times \cdots \times X_{n}$ 的乘积也类似：
特别是，这个公式说明 $\#(\emptyset \times X)=\#(X \times \emptyset)=0$，与 (ii) 一致。
最后，一个非常重要的构造是集合的幂集：
定义 1.2.6. $X$ 的所有子集的集合也是一个集合，称为 $X$ 的幂集，通常记作 $\mathcal{P}(X)$：
例 1.2.7. (i) 根据备注 1.1.4 中的传递性，如果 $Y$ 是 $X$ 的子集，则 $\mathcal{P}(Y)$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 的子集。
(ii) 注意 $X \in \mathcal{P}(X)$ 且 $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$。
(iii) 如果 $X \neq \emptyset$ 且 $x \in X$，则 $\{x\} \in \mathcal{P}(X)$。
(iv) $\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}$。特别是，$\mathcal{P}(\emptyset) \neq \emptyset$；事实上，$\mathcal{P}(\emptyset)$ 包含唯一的元素 $\emptyset$，因此 $\#(\mathcal{P}(\emptyset))=1$。同样地，$\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))=\mathcal{P}(\{\emptyset\})=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$。特别是，$\#(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset)))=2$。同样地，
因此 $\#(\mathcal{P}(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}))=4$。更一般地，我们将看到，如果 $X$ 是一个有限集且 $\#(X)=n$，则 $\#(\mathcal{P}(X))=2^{n}$。
接下来我们定义函数 $f: X \rightarrow Y$。虽然我们可以把函数看作一个“规则”，它将 $X$ 中的每个 $x$ 映射到 $Y$ 中的唯一 $y$，但通过将函数 $f$ 与其在 $X \times Y$ 中的图像（如我们在微积分中被教导不要做的那样）联系起来，可以更容易地精确化这个概念。给定函数 $f: X \rightarrow Y$，我们有其图像 $G_{f} \subseteq X \times Y$，定义为
它具有以下性质：对于所有 $x \in X$，存在唯一一个 $y \in Y$ 使得 $(x, y) \in G_{f}$，即 $y=f(x)$。说存在唯一的 $y \in Y$ 意味着 $f(x)$ 由 $x$ 唯一确定，而说对于每个 $x \in X$ 都存在一个 $(x, y) \in G_{f}$ 则意味着 $f(x)$ 实际上对所有 $x \in X$ 都有定义。这就是所谓的垂直线测试：对于每个 $x \in X$，我们有 $X \times Y$ 的子集 $\{x\} \times Y$。（如果 $X=Y=\mathbb{R}$，这样的子集正是垂直线。）然后我们可以将其反过来作为函数的定义：
定义 1.3.1. 函数 $f: X \rightarrow Y$ 是 $X \times Y$ 的一个子集 $G$，使得对于每个 $x \in X$，$(\{x\} \times Y) \cap G$ 恰好包含一个点，必然是 $(x, y)$ 形式的，其中 $y \in Y$。这个唯一的 $y$ 然后记作 $f(x)$。
在上述符号中，我们称 $X$ 为 $f$ 的定义域，称 $Y$ 为 $f$ 的值域。因此，定义域和值域是函数信息的一部分。
我们也将“映射”或“映照”作为函数的同义词；通常映射是某种几何环境中的函数。
备注 1.3.2. (i) 注意函数必须在其定义域的所有元素上都有定义；因此，例如，函数 $f(x)=1 / x$ 不能在定义域 $\mathbb{R}$ 上而不对 $f(0)$ 赋值。（这与某些微积分课程中的做法相反，在这些课程中 $f$ 可以不必处处有定义。）
(ii) 两个函数 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 相等当且仅当它们的图像相等，当且仅当，对于所有 $x \in X, f_{1}(x)=f_{2}(x)$。因此，就像集合由其元素指定一样，函数由其值唯一指定。但是我们强调，要使两个函数 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 相等，它们必须具有相同的定义域和值域。
(iii) 如果 $X=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ 是一个有限集，则函数 $f: X \rightarrow Y$ 可以通过一个表格来描述：
| $x_{1}$ | $x_{2}$ | $x_{3}$ | $\ldots$ | $x_{n}$ |
|---|---|---|---|---|
| $f\left(x_{1}\right)$ | $f\left(x_{2}\right)$ | $f\left(x_{3}\right)$ | $\ldots$ | $f\left(x_{n}\right)$ |
例 1.3.3. 以下是一些基本的函数示例：
(i) 对于任何集合 $X$，恒等函数 $\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$ 满足：对于每个 $x \in X$，$\operatorname{Id}_{X}(x)=x$。因此它在 $X^{2}$ 中的图像是集合
我们可以将其视为 $X^{2}$ 的子集中的“对角线”。(对角线是否满足作为函数图像的测试？) 当 $X$ 在上下文中明确时，我们通常将 $\mathrm{Id}_{X}$ 缩写为 $\mathrm{Id}$。
(ii) 一个相关例子是包含：如果 $X \subseteq Y$，则 $\Delta_{X}=\{(x, x): x \in X\}$ 是 $X \times Y$ 的子集，它是从 $X$ 到 $Y$ 的函数图像，我们通常将其表示为包含函数 $i_{X}$。
(iii) 另一个例子，如果 $X, Y \neq \emptyset$，是常数函数：选择 $c \in Y$ 并定义 $f(x)=c$ 对于所有 $x \in X$。（这个函数的图像是什么，为什么它是一个函数？）
(iv) 当然，所有标准的微积分函数都提供了从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数示例（或者从开区间的并集到 $\mathbb{R}$，如果不是处处有定义的话）。
(v) 另一个例子是笛卡尔积 $X \times X$：给定有序对 $(x_{1}, x_{2})$，我们可以将 $x_{i}$ 视为一个函数，它将值 $x_{1}$ 赋给 1，将 $x_{2}$ 赋给 2。通过这种方式，我们可以将 $X^{2}=X \times X$ 与所有函数 $f:\{1,2\} \rightarrow X$ 的集合等同起来。如果我们要以这种方式定义两个可能不同的集合的笛卡尔积，我们可以将 $X \times Y$ 定义为所有函数 $f:\{1,2\} \rightarrow X \cup Y$ 的集合，使得 $f(1) \in X$ 且 $f(2) \in Y$。同样地，$X^{n}$ 与函数 $f:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow X$ 的集合等同起来，而 $X_{1} \times \cdots \times X_{n}$ 定义为所有函数 $f:\{1,2, \ldots, n\} \rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}$ 的集合，使得对于每个 $i$ 都有 $f(i) \in X_{i}$。
实数序列 $x_{1}, x_{2}, \ldots$ 与函数 $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ 是相同的，其中 $\mathbb{N}$ 仍然是自然数集 $\{1,2, \ldots\}$。这里，给定一个函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$，我们通过 $x_{i}=f(i)$ 定义一个序列 $x_{1}, x_{2}, \ldots$，反之亦然。更一般地，如果 $X$ 是任何集合，可能是有限的，那么一个值在 $X$ 中的序列 $x_{1}, x_{2}, \ldots$ 与一个函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow X$ 是同一回事。
(vi) 两个变量的函数与单变量函数 $f: X \times Y \rightarrow Z$ 是同一回事，换句话说，我们对 $X \times Y$ 的元素（即有序对）求 $f$ 的值。传统上，我们写 $f(x, y)$ 而不是 $f((x, y))$ 来表示 $f$ 在 $(x, y)$ 上的值。对于 $n$ 个变量的函数也有类似的约定。
(vii) 给定笛卡尔积 $X \times Y$，我们有第一和第二投影函数：$\pi_{1}: X \times Y \rightarrow X$ 由 $\pi_{1}(x, y)=x$ 定义，同样地 $\pi_{2}: X \times Y \rightarrow Y$ 由 $\pi_{2}(x, y)=y$ 定义。类似地，对于笛卡尔积 $X_{1} \times \cdots \times X_{n}$，我们可以定义到第 $i$ 个因子的投影 $\pi_{i}: X_{1} \times \cdots \times X_{n} \rightarrow X_{i}$ 为：$\pi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=x_{i}$。还有更复杂的“部分”投影。例如，给定 $i \neq j$，我们可以定义 $\pi_{i, j}: X_{1} \times \cdots \times X_{n} \rightarrow X_{i} \times X_{j}$ 为：$\pi_{i, j}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{i}, x_{j}\right)$。
(viii) 如果 $X$ 和 $Y$ 是两个集合，那么从 $X$ 到 $Y$ 的所有函数的集合是一个新集合，有时记作 $Y^{X}$：
如果 $X$ 和 $Y$ 是有限的，例如 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，那么 $Y^{X}$ 也是有限的，且 $\#\left(Y^{X}\right)=m^{n}$。这遵循备注 1.3.2(iii) 中对函数 $f: X \rightarrow Y$ 的表格描述，注意到在这种情况下，对于 $f\left(x_{1}\right)$ 有 $m$ 种选择，对于 $f\left(x_{2}\right)$ 有 $m$ 种选择，...，对于 $f\left(x_{n}\right)$ 有 $m$ 种选择，总共有 $m^{n}$ 种选择。
给定 $x \in X$，我们通过在 $x$ 处求值得到一个从 $Y^{X}$ 到 $Y$ 的函数 $\mathrm{ev}_{x}$：
因此，当我们上面写 $f(x)$ 时，符号 $f$ 变成了“变量”。还有一个类似的两变量函数 $e: X \times Y^{X} \rightarrow Y$，定义为
注意投影 $\pi_{i}: X^{n} \rightarrow X$ 是求值的一个特例，通过将 $X^{n}$ 视为 $X^{\{1, \ldots, n\}}$ 并在 $i$ 处求值。换句话说，$\pi_{i}$ 与 $\operatorname{ev}_{i}: X^{\{1, \ldots, n\}} \rightarrow X$ 等同。
定义 1.4.1. 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。集合
称为 $f$ 的像或 $\operatorname{Im} f$，我们也将其写为 $f(X)$。有时人们将值域称为共域和/或将值域定义为像。在本文中，我们始终区分像和值域。更一般地，如果 $A$ 是 $X$ 的子集，则我们设置
因此 $f(A) \subseteq Y$。通常，函数 $f: X \rightarrow Y$ 的像将是值域的子集，但不一定等于值域。
我们还为 $Y$ 的子集 $B$ 定义子集
它是 $X$ 的子集，称为 $B$ 的原像。因此 $f^{-1}(B) \subseteq X$。如果 $B=\{y\}$ 只有一个元素，我们写 $f^{-1}(y)$ 而不是 $f^{-1}(\{y\})$。然而，根据这个定义，$f^{-1}(y)$ 是 $X$ 的子集。例如，$f^{-1}(Y)=X$ 且 $f^{-1}(y) \neq \emptyset$ 当且仅当 $y \in f(X)$，即 $y \in \operatorname{Im} f$。注意：原像 $f^{-1}(B)$ 可以为每个函数 $f: X \rightarrow Y$ 和 $Y$ 的每个子集 $B$ 定义，特别是当 $B=\{y\}$ 时。因此这个符号与我们稍后将定义的逆函数的存在性无关，而是旨在在逆函数存在时造成最大的混淆。因此（与许多数学符号的情况一样），上下文将至关重要。
从定义可知
就我们的基本函数示例而言，我们有：
(i) 对于 $f=\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$，子集 $A \subseteq X$ 的像和原像都是 $A$。
(ii) 如果 $X \subseteq Y$ 且 $i_{X}: X \rightarrow Y$ 是包含，那么 $X$ 的子集 $A$ 的像 $i_{X}(A)$ 就是 $A$，视为 $Y$ 的子集，而 $B \subseteq Y$ 的原像 $i_{X}^{-1}(B)$ 是 $B \cap X$。
(iii) 如果 $f: X \rightarrow Y$ 是常数函数 $f(x)=c$ 对于所有 $x \in X$，那么 $Y$ 的子集 $B$ 的原像 $f^{-1}(B)$ 在 $c \notin B$ 时是 $\emptyset$，在 $c \in B$ 时是 $X$。$X$ 的子集 $A$ 的像 $f(A)$ 在 $A=\emptyset$ 时是 $\emptyset$，在 $A \neq \emptyset$ 时是 $\{c\}$。
备注 1.4.2. 如果 $Y$ 是另一个集合 $Y^{\prime}$ 的子集，那么函数 $f: X \rightarrow Y$ 定义（以明显的方式）一个从 $X$ 到 $Y^{\prime}$ 的函数。就图像而言，我们把图像 $G_{f} \subseteq X \times Y$ 视为 $X \times Y^{\prime}$ 的子集。从技术上讲，这是两个不同的函数，尽管我们偶尔会（不正确地）模糊这种区别。此外，给定一个函数 $f: X \rightarrow Y$，我们总是可以将其替换为一个从 $X$ 到 $f(X) \subseteq Y$ 的函数。更一般地，如果 $f(X) \subseteq B \subseteq Y$，那么 $G_{f} \subseteq X \times B$ 并定义一个新函数 $X \rightarrow B$。
我们经常需要限制给定函数的值，这导致了以下内容：
定义 1.4.3. 如果 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数且 $A \subseteq X$，那么我们定义 $f$ 到 $A$ 的限制 $f \mid A$ 为函数 $f \mid A: A \rightarrow Y$，由 $(A \times Y) \cap G_{f}$ 定义，其中 $G_{f}$ 是 $f$ 的图像。换句话说，对于所有 $a \in A$，$(f \mid A)(a)=f(a)$，且 $f \mid A$ 的定义域恰好是 $A$。如果 $f(A) \subseteq B$，则存在诱导函数 $g: A \rightarrow B$，通过将备注 1.4.2 的过程应用于 $f \mid A$ 获得，如果 $B \neq Y$，则在技术上与 $f \mid A$ 不同。
定义 1.5.1. 函数 $f: X \rightarrow Y$ 是满射或映上的，如果 $f(X)=Y$，换句话说，如果 $f$ 的像是 $Y$。
函数 $f: X \rightarrow Y$ 是单射或一对一的，如果对于所有 $x_{1}, x_{2} \in X, f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 当且仅当 $x_{1}=x_{2}$。等价地，对于所有 $y \in Y$，集合 $f^{-1}(y)$ 最多只有一个元素。因此，如果对于所有 $y \in Y$，方程 $f(x)=y$ 最多只有一个解，或者换句话说，如果存在解，则它是唯一的，那么 $f$ 是单射的。相比之下，如果对于所有 $y \in Y$，方程 $f(x)=y$ 有解（不一定是唯一的），那么 $f$ 是满射的。函数 $f: X \rightarrow Y$ 既是一对一又是映上的，则称为双射或一一对应。等价地，$f$ 是双射 $\Longleftrightarrow$ 对于所有 $y \in Y$，存在唯一的 $x \in X$ 使得 $f(x)=y$。
例 1.5.2. (i) 取 $X=\mathbb{R}$，函数 $f(x)=x^{2}$ 既不是单射也不是满射。（什么时候 $x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$？$f$ 的像是什么？）然而，相应的函数定义了一个单射 $[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$，一个满射 $\mathbb{R} \rightarrow[0, \infty)$，以及一个双射 $[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$。
(ii) 函数 $f(x)=e^{x}$ 是单射但不是满射。（$f$ 的像是什么？）函数 $f(x)=x^{3}+1$ 是一个双射。
(iii) 对于每个集合 $X$，恒等函数 $\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$ 始终是一个双射。
(iv) 给定函数 $f: X \rightarrow Y$，备注 1.4.2 中描述的相应函数 $X \rightarrow f(X)$ 自动是满射的。换句话说，我们可以通过缩小值域将每个函数转换为一个（可能不同的）满射函数。
单射或满射的性质也可以通过“水平线”来描述，换句话说，通过形式为 $X \times\{y\}$ 的 $X \times Y$ 的子集（当 $X=Y=\mathbb{R}$ 时，它们恰好是水平线）。函数 $f: X \rightarrow Y$ 是单射 $\Longleftrightarrow$ 对于每个 $y \in Y$，图像 $G_{f}$ 与 $X \times\{y\}$ 的交集，即 $G_{f} \cap(X \times\{y\})$，最多有一个点。函数 $f$ 是满射 $\Longleftrightarrow$ 对于每个 $y \in Y$，图像 $G_{f}$ 与 $X \times\{y\}$ 的交集，即 $G_{f} \cap(X \times\{y\})$，至少有一个点。因此，$f$ 是双射 $\Longrightarrow$ 对于每个 $y \in Y$，图像 $G_{f}$ 与 $X \times\{y\}$ 的交集，即 $G_{f} \cap(X \times\{y\})$，恰好有一个点。这可以解释如下：对于 $X \times Y$ 的每个子集 $A$，我们通过以下方式得到 $Y \times X$ 的一个新子集 ${ }^{t} A$：
这是“关于对角线反射”的抽象类比。上述说法是 $f$ 是双射 $\Longleftrightarrow$ 当 ${ }^{t} G_{f}$ 被视为 $Y \times X$ 的子集时，它满足“垂直线测试”。因此：
命题 1.5.3. 函数 $f: X \rightarrow Y$ 是双射 $\Longleftrightarrow$ 子集 ${ }^{t} G_{f} \subseteq Y \times X$ 是从 $Y$ 到 $X$ 的函数图像。这个函数记作 $f^{-1}$。
$f^{-1}$ 的定义性质如下：
我们将在下一节回到这个函数。
备注 1.5.4. 如果 $X$ 和 $Y$ 是有限集，并且 $f: X \rightarrow Y$ 是一个双射，那么 $\#(X)=\#(Y)$。事实上，我们可以通过以下方式定义一个有限集 $X$：$X$ 是有限的 $\Longleftrightarrow$ 对于某个自然数 $n$，存在一个从集合 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $X$ 的双射，在这种情况下 $\#(X)=n$。（因此，根据定义，一个无限集 $X$ 是指对于每个自然数 $n$，都不存在从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $X$ 的双射。）
更一般地，如果 $X$ 和 $Y$ 是有限集，则
(i) 存在双射 $f: X \rightarrow Y \Longleftrightarrow \#(X)=\#(Y)$。
(ii) 存在单射 $f: X \rightarrow Y \Longleftrightarrow \#(X) \leq \#(Y)$。
(iii) 存在满射 $g: X \rightarrow Y \Longleftrightarrow \#(X) \geq \#(Y)$。
(iv) 如果 $\#(X)=\#(Y)$ 且 $g: X \rightarrow Y$ 是一个函数，那么 $g$ 是单射 $\Longleftrightarrow g$ 是满射 $\Longleftrightarrow g$ 是双射。
上述三条事实中的任何一条都称为鸽巢原理。
备注 1.5.5. 很容易得出，如果 $X$ 是有限的且 $A$ 是 $X$ 的真子集，那么 $\#(A)< \#(X)$ 且不存在从 $A$ 到 $X$ 的双射。结果表明，无限集可以通过相反的性质来表征：$X$ 是无限的 $\Longleftrightarrow$ 存在 $X$ 的真子集 $A$ 和一个从 $A$ 到 $X$ 的双射。
尽管我们不会使用无限基数的语言，但如果存在从 $\mathbb{N}$ 到 $X$ 的双射，则集合 $X$ 是可数的。例如，$\mathbb{N}, \mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Q}$ 都是可数的。如果不存在从 $\mathbb{N}$ 到 $X$ 的双射，则无限集 $X$ 是不可数的。例如，康托的一个著名结果是 $\mathbb{R}$ 是不可数的。此外，幂集 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 是不可数的（事实上，存在从 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 到 $\mathbb{R}$ 的双射）。
定义 1.6.1. 给定函数 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$，定义复合函数 $g \circ f: X \rightarrow Z$ 为
对于所有 $x \in X$。当然，我们也可以通过稍微复杂的规则将 $g \circ f$ 定义为一个图像
其中 $\pi_{1,3}$ 是例 1.3.3 (vii) 中定义的到 $X \times Z$ 的投影。
例 1.6.2. (i) 给定 $f: X \rightarrow Y, \operatorname{Id}_{Y} \circ f=f \circ \operatorname{Id}_{X}=f$。因此，恒等函数在复合下表现得非常像恒等元，只要我们小心相关恒等函数的定义域。
(ii) 如果 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数且 $A \subseteq X$，则 $f \circ i_{A}=f \mid A$，其中 $i_{A}: A \rightarrow X$ 是例 1.3.3(ii) 中定义的包含函数。同样地，如果 $Y \subseteq Y^{\prime}$ 且 $i_{Y}: Y \rightarrow Y^{\prime}$ 是包含，那么 $i_{Y} \circ f$ 就是我们在备注 1.4.2 中描述的函数。
函数复合运算有点像代数运算，因为我们有时可以“组合”两个函数得到第三个。但我们不能总是这样做：我们只能在 $f$ 的值域等于 $g$ 的定义域时定义 $g \circ f$。
函数复合有一个重要的性质，即它在有定义时是结合的：
命题 1.6.3. 假设给定函数 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z$ 和 $h: Z \rightarrow W$。那么
证明。对于所有 $x \in X$，
因此对于所有 $x \in X$，$(h \circ(g \circ f))(x)=((h \circ g) \circ f)(x)$，所以 $h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f$。
通常函数复合不是交换的。例如，给定 $f: X \rightarrow Y$，我们只能在 $X=Z$ 时以两种顺序与 $g: Y \rightarrow Z$ 进行复合。在这种情况下，$g \circ f: X \rightarrow X$ 和 $f \circ g: Y \rightarrow Y$，我们只能在 $X=Y$ 时比较它们。最后，非常简单的例子表明，即使 $Y=X$，如果我们随机选择两个函数 $f: X \rightarrow X$ 和 $g: X \rightarrow X$，那么 $g \circ f \neq f \circ g$（只要 $X$ 有多于一个元素）。换句话说，两个随机函数的复合（其定义域和值域都等于一个固定集合 $X$）将取决于顺序（例如，取 $X=\mathbb{R}, f(x)=e^{x}, g(x)=x^{2}+1$，并检查 $g \circ f \neq f \circ g$）。
我们已经看到恒等函数的作用非常类似于实数加法或乘法的恒等元。我们也可以询问逆函数：
定义 1.6.4. 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。逆函数 $g: Y \rightarrow X$ 是一个函数 $g$，使得 $g \circ f=\operatorname{Id}_{X}$ 且 $f \circ g=\operatorname{Id}_{Y}$。
例 1.6.5. 对于恒等函数 $\operatorname{Id}_{X}: X \rightarrow X$，由于 $\operatorname{Id}_{X} \circ \operatorname{Id}_{X}=\operatorname{Id}_{X}$，$\operatorname{Id}_{X}$ 是自身的逆函数。
正如我们很快将展示的，如果逆函数存在，它就是唯一的，并且实际上就是我们记作 $f^{-1}$ 的函数。这不应与可以为任何函数定义的原像混淆，也不应与 $1 / f$ 混淆，后者可以为从不为零的实值函数定义。请注意，如果 $f: X \rightarrow Y$ 是一个双射，其逆函数为 $f^{-1}$，那么 $f^{-1}(y)$ 可能表示 $f^{-1}$ 在 $y$ 上的值，它是一个 $X$ 的元素，或者表示 $y$ 的原像，它是子集 $f^{-1}(\{(y)\}) \subseteq X$，因此等于单元素子集 $\left\{f^{-1}(y)\right\}$。
类似地，对于 $f$ 的左逆是一个函数 $g: Y \rightarrow X$ 使得 $g \circ f=\operatorname{Id}_{X}$，而对于 $f$ 的右逆是一个函数 $g: Y \rightarrow X$ 使得 $f \circ g=\operatorname{Id}_{Y}$。一个函数可能有一个右逆但没有左逆，反之亦然。然而，如果一个函数同时具有右逆和左逆，它们是相等的：
命题 1.6.6. 假设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数，并且 $g: Y \rightarrow X$ 和 $h: Y \rightarrow X$ 是函数，使得 $g \circ f=\operatorname{Id}_{X}$ 且 $f \circ h=\operatorname{Id}_{Y}$。那么 $g=h$，因此 $g=h$ 是 $f$ 的逆函数。
证明。考虑 $g \circ f \circ h$。由于函数复合是结合的，这等于
但以另一种方式结合则表明它也等于
因此 $g=h$。
推论 1.6.7. 如果 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 是 $f$ 的两个逆函数，那么 $g_{1}=g_{2}$。换句话说，逆函数如果存在，则是唯一的。
证明。由于逆函数既是左逆又是右逆，我们可以应用前面的命题，例如将 $g_{1}$ 视为右逆，将 $g_{2}$ 视为左逆，从而得出 $g_{1}=g_{2}$。
注意 $g$ 是 $f$ 的左逆 $\Longleftrightarrow f$ 是 $g$ 的右逆，对于右逆也类似。特别是，如果 $f$ 有逆函数 $f^{-1}$，那么 $f$ 是 $f^{-1}$ 的右逆和左逆，因此是 $f^{-1}$ 的逆函数。我们可以这样表达：
命题 1.6.8. 假设 $f: X \rightarrow Y$ 有逆函数 $f^{-1}: Y \rightarrow X$。那么 $f^{-1}$ 也有一个逆函数，并且事实上它必然等于 $f$。换句话说，
左逆和右逆与单射和满射之间的关系由以下内容给出：
命题 1.6.9. 设 $f: X \rightarrow Y$ 是一个函数。
(i) 如果 $f$ 有左逆，则 $f$ 是单射。
(ii) 如果 $f$ 有右逆，则 $f$ 是满射。
(iii) $f$ 有逆函数当且仅当 $f$ 是双射，在这种情况下，其逆函数是与 ${ }^{t} G_{f}$ 相关联的函数。
证明。(i), (ii)：作为练习（练习 1.7）。事实上，(ii) 是一个当且仅当语句，而 (i) 是一个当且仅当语句，只要 $X \neq \emptyset$。
(iii) （概要。）使用 $f: X \rightarrow Y$ 是双射 $\Longleftrightarrow{ }^{t} G_{f} \subseteq Y \times X$ 是函数 $g: Y \rightarrow X$ 的图像这一事实，并检查，必然有 $g \circ f=\operatorname{Id}_{X}$ 且 $f \circ g=\operatorname{Id}_{Y}$。反之，如果 $f^{-1}: Y \rightarrow X$ 是逆函数，则很容易看出 $G_{f^{-1}}={ }^{t} G_{f}$，因此 $f$ 是双射。
特别是，证明一个函数是双射的一种非常有效的方法是展示它的一个逆函数。
两个单射的复合是单射，两个满射的复合是满射（练习 1.5）。因此，两个双射的复合是双射。然而，鉴于上述备注，通过描述复合函数的逆函数来证明这个最后的陈述会更好，这还有一个优点，即给出了逆函数的公式。注意公式中的顺序颠倒，这是基本事实。
命题 1.6.10. 假设 $f: X \rightarrow Y$ 有逆函数 $f^{-1}: Y \rightarrow X$，并且 $g: Y \rightarrow Z$ 有逆函数 $g^{-1}: Z \rightarrow Y$。那么 $g \circ f$ 有一个逆函数，并且它等于 $f^{-1} \circ g^{-1}$。
证明。我们必须检查两个等式
由于它们是相似的，我们只检查第一个：通过结合律，
推论 1.6.11. 如果 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 是双射，那么 $g \circ f$ 也是双射。
当然，如上所述，可以直接从定义证明推论 1.6.11。
双射表达了两个集合具有相同数量元素的思想。我们已经讨论过有限集的情况。对于无限集，这可以用来定义两个无限集具有相同数量元素的含义（康托）。但这样的双射可能非常不明显。例如，可以证明存在从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^{2}$ 的双射，或者实际上到任何 $n>0$ 的 $\mathbb{R}^{n}$ 的双射，但这样的双射不具有几何性质，也不能以任何显式方式写出来。
另一方面，特别是在代数中，我们经常寻找“好的”双射，这可能告诉我们两个集合即使在技术上不同，也可能本质上是相同的。例如，如果 $X \neq Y$，集合 $X \times Y$ 和 $Y \times X$ 是不同的集合，但存在一个自然函数 $F: X \times Y \rightarrow Y \times X$，由 $F(x, y)=(y, x)$ 定义。这个函数是一个双射：如果 $F\left(x_{1}, y_{1}\right)=F\left(x_{2}, y_{2}\right)$，那么根据定义 $\left(y_{1}, x_{1}\right)=\left(y_{2}, x_{2}\right)$ 作为 $Y \times X$ 中的有序对。因此，根据有序对相等的运算性质，$y_{1}=y_{2}$ 且 $x_{1}=x_{2}$，从而 $\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{2}, y_{2}\right)$。因此 $F$ 是单射。为了看出它是满射，设 $(y, x)$ 是 $Y \times X$ 的任意元素。那么 $(y, x)=F(x, y)$。因此 $F$ 是满射，从而是一个双射。在不直接验证 $F$ 既是单射又是满射的情况下，很容易找到一个逆函数 $G: Y \times X \rightarrow X \times Y$。（这个逆函数是什么？）同样地，存在从 $X_{1} \times\left(X_{2} \times X_{3}\right)$ 到 $\left(X_{1} \times X_{2}\right) \times X_{3}$ 的双射，以及从这两个集合中的任何一个到 $X_{1} \times X_{2} \times X_{3}$ 的双射。事实上，这些双射非常明显，以至于我们不总是显式地写出它们。
再举一个例子，我们可以将幂集 $\mathcal{P}(X)$ 与所有从 $X$ 到 $\{0,1\}$ 的函数集等同起来，即与 $\{0,1\}^{X}$ 等同，如下所示。
定义 1.6.12. 设 $X$ 是一个集合，设 $A \subseteq X$，即 $A \in \mathcal{P}(X)$。定义特征函数 $\chi_{A}: X \rightarrow\{0,1\}$ 为：
那么 $\chi_{A} \in\{0,1\}^{X}$。
因此，给定 $\mathcal{P}(X)$ 的一个元素 $A$，我们定义了一个函数 $\chi_{A}: X \rightarrow\{0,1\}$，即 $\{0,1\}^{X}$ 的一个元素。反之，如果 $f \in\{0,1\}^{X}$，即 $f$ 是一个从 $X$ 到 $\{0,1\}$ 的函数，定义 $S_{f}=f^{-1}(1)= \{x \in X: f(x)=1\}$。更正式地，我们通过公式
定义了一个函数 $F: \mathcal{P}(X) \rightarrow\{0,1\}^{X}$。
函数 $G:\{0,1\}^{X} \rightarrow \mathcal{P}(X)$ 定义为
是 $F$ 的逆函数，可以通过验证以下两个陈述来检查：
这些陈述通过展开定义来检查（参见练习 1.9）。
那么根据备注 1.5.4，如果 $X$ 是一个有限集且 $\#(X)=n$，则
上述例子说明了数学中的一个普遍模式。给定两个集合 $X$ 和 $Y$，通常通过以下方式找到从 $X$ 到 $Y$ 的双射：
(i) 对于 $X$ 的每个元素 $x$，构造一个 $Y$ 的元素 $y$，我们将其解释为函数 $F: X \rightarrow Y$；
(ii) 类似地，对于 $Y$ 的每个元素 $y$，构造一个 $X$ 的元素 $x$，我们将其解释为函数 $G: Y \rightarrow X$；
(iii) 证明这些是“逆构造”，即如果我们从 $x$ 构造 $y$，然后对 $y$ 进行相应的构造，我们就会回到我们最初的元素 $x \in X$，反之亦然。这最后一个陈述等价于断言 $G \circ F=\operatorname{Id}_{X}$ 且 $F \circ G=\operatorname{Id}_{Y}$。当然，我们希望这些“构造”，换句话说，函数 $F$ 和 $G$，在某种模糊的意义上是自然的。
最后，我们讨论从一个集合到自身的所有双射的集合。这个对象将在本书中反复出现。
定义 1.6.13. 设 $X$ 是一个集合。我们定义 $S_{X}$，即 $X$ 的置换集，为所有双射 $f: X \rightarrow X$ 的集合。因此 $S_{X} \subseteq X^{X}$，即所有从 $X$ 到 $X$ 的函数集。
然后结合推论 1.6.11、例 1.6.5 和命题 1.6.8，我们有：
命题 1.6.14. 如果 $X$ 是一个集合且 $S_{X}$ 如上定义，则
(i) 对于所有 $f, g \in S_{X}$，$g \circ f \in S_{X}$。
(ii) $\operatorname{Id}_{X} \in S_{X}$。
(iii) 如果 $f \in S_{X}$，则 $f^{-1} \in S_{X}$。
换句话说，$S_{X}$ 在复合下是封闭的，包含 $X$ 上的恒等函数，并且 $S_{X}$ 的每个元素都有一个逆元素，它也在 $S_{X}$ 中。
对于一个有限集 $X$，其 $\#(X)=n$，我们通常将 $X$ 取为具有 $n$ 个元素的标准有限集，即 $\{1, \ldots, n\}$，并用 $S_{n}$ 缩写 $S_{\{1, \ldots, n\}}$。通过计数，$\#\left(S_{n}\right)=n!$，因为要定义一个双射 $f:\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$，对于 $f(1)$ 有 $n$ 种可能的选择，但对于 $f(2)$ 只有 $n-1$ 种选择，因为值 $f(1)$ 被排除：由于 $f$ 是单射，我们不能有 $f(1)=f(2)$。继续下去，对于 $f(3)$ 有恰好 $n-2$ 种选择，...，对于 $f(n-1)$ 有 2 种选择，对于 $f(n)$ 只有一种选择。这表明单射 $\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$ 的总数是
但根据备注 1.5.4，单射 $\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$ 与双射 $\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$ 是同一回事。因此 $\#\left(S_{n}\right)=n!$。当然，类似的论证表明，对于任何具有 $\#(X)=n$ 的有限集 $X$，$\#\left(S_{X}\right)=n!$。
定义 1.6.15. 集合 $S_{n}$ 是 $n$ 个字母上的对称群或度数为 $n$ 的对称群。
在数学中，我们希望将两个对象视为相同的例子有很多。
例 2.1.1. (i) $\mathbb{R}^{2}$ 或 $\mathbb{R}^{n}$ 中的向量：一个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 是一个有向线段。这里 $\mathbf{p}$ 是起点，$\mathbf{q}$ 是终点。我们说 $\mathbf{p}$ 定位在其起点 $\mathbf{p}$。在物理学中，我们认为向量（未定位）是一个具有大小和方向的对象。在数学上，这意味着如果两个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$ 具有相同的大小和方向，即线段长度相同、平行且“指向同一方向”（即在明显意义上具有相同的起点），则它们定义相同的向量。当然，在数学中，我们总是将向量定位在 $\mathbf{0}$ 处，并将定位向量 $\overrightarrow{\text{0r}}$ 与其另一个终点 $\mathbf{r}$（即与 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个元素）等同起来。
(ii) 在平面几何中，我们经常将两个全等三角形等同起来。
(iii) 同样在平面几何中，我们有时将角视为两条射线在一个点相交，并规定如果两个这样的角以适当的意义全等，则它们定义相同的角。我们也可以将角视为实数 $\theta$，但对于每个整数 $k$，两个实数 $\theta$ 和 $\theta+2 k \pi$ 定义相同的角。
(iv) 有理数与分数 $a / b$ 是同一回事，$a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$，因此由有序对 $(a, b) \in \mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 指定。但不同的有序对 $(a, b)$ 可以定义相同的有理数 $a / b$。事实上，$a / b$ 和 $c / d$ 定义相同的有理数当且仅当 $a d=b c$。挑选出分数 $a / b$ 的“最佳”描述的一种方法是同意我们只考虑“最简形式”的有序对 $(a, b)$，换句话说，使得 $b>0$ 尽可能小，这恰好发生在 $a$ 和 $b$ 没有公因子时。但这引出了关于分解的复杂问题，更方便的是让 $(a, b)$ 是 $\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 的任意元素，然后有一个框架来处理某些这样的对是相等的。
定义 2.1.2. 设 $X$ 是一个集合。$X$ 上的关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集。
数学中有两种重要的关系类型：(1) 序（这里我们通常使用 $x \leq y$ 或 $x<y$ 来表示 $(x, y) \in \mathcal{R}$），以及 (2) 等价关系，用于那些“类似于”相等的关系。对于等价关系 $\mathcal{R}$，条件 $(x, y) \in \mathcal{R}$ 有时记作 $x \mathcal{R} y$，但更常见的是我们使用一些特殊符号，例如 $\leq, \sim, \cong,$ 或 $\equiv$，并写成例如 $x \sim y$ 来表示 $(x, y) \in \mathcal{R}$。这是正式定义：